Эконофизика и физически-обоснованные нейронные сети

Эконофизика — область науки, которая объединила в себе экономическую теорию и физические методы. По случаю выхода нашей с коллегами научной статьи [1], решил рассказать об этой концепции. Особенно про то, как современные подходы машинного обучения могут способствовать построению динамических моделей.

Историческая справка

Впервые термин эконофизика появился в 90-х годах прошлого века. Первое значимое появление этого термина связано с воркшопом по эконофизике в 1996 году в Будапеште. Выделить основателя этой области сложно, так как многие известные физики применяли физические методы к экономике, однако обычно выделяют работы H. Eugene Stanley. Именно он популяризовал эту область и вместе со своими коллегами сформулировал основные термины эконофизики.

Например, в известной работе [2], Stanley и его коллега Mantegna продемонстрировали степенное поведение колебаний рынка. В своих работах они активно применяли методы статистической физики. В основном ученые того времени акцентировали свое внимания на поведении финансовых рынков. Главной задачей было описать флуктуации рынка, связанные с его сложной стохастической природой. Для этого, в том числе использовались методы из теории сложных систем.

Если понимать эконофизику в более общем ключе, то следует упомянуть работы L. Bachelier в начале 20 века. Он первый описал цены финансовых активов при помощи арифметического броуновского движения. Однако его идеи были восприняты значительно позже, с развитием финансовых рынков (60-е года 20 века). Изначально, броуновское движение использовалось для описания движения частиц в жидкостях и газах.

Вернемся к 90-м годам. В работах Jean-Philippe Bouchaud и Marc Mézard также можно найти концепции из статистической физики, но уже для изучения распределения богатств. Физик János Kertész внес фундаментальный вклад в эконофизику, применив методы из теории сложных сетей и изучив поведение рынка через теорию перколяций и агентные модели. За последнее также можно выделить J. Doyne Farmer, который занимается сложными системами.

Существует еще одно большое направление в финансах, которое связано с физикой — ценообразование деривативов (derivative pricing). Деривативы — это производные финансовые инструменты, например, опционы, фьючерсы, варранты, процентные свопы, свопционы. Используя методы стохастического анализа, можно посчитать цену опциона через обратное уравнение Колмогорова, которое в свою очередь задается системой стохастических дифференциальных уравнений. В эту систему могут входить: цена базового актива, волатильность, процентная ставка, корреляция между волатильностью и ценой базового актива.

С физикой деривативы связываются через так называемую формулу Фейнмана-Каца [3]. Эта формула позволяет находить решения дифференциальных уравнений в частных производных через условные математические ожидания и более того связывает его с методом Монте-Карло. Изначально эта формула появилась в математической физике для решения уравнений диффузии и теплопроводности, а также для моделирования эволюции волновой функции.

Мой же рассказ пойдет об еще одном направлении в эконофизике и социофизике — лагранжевой механики.

Лагранжева механика

Лагранжева механика является альтернативной формулировкой классической ньютоновской механики. Основным объектом в ней выступает лагранжиан (функция Лагранжа), который однозначно определяет механическую систему. Вместо обычных декартовых координат рассматривают обобщенные .

Преимущество обобщенных координат в том, что они могут обозначать все что угодно, то есть необязательно совпадать с декартовой системой. Например, угол отклонения от вертикали в классическом маятнике является обобщенной координатой, в то время как координаты маятника в плоскости и — декартовыми. То есть обобщенные координаты могут упростить систему или дать иную интерпретацию, а при наличии голономных связей уменьшить количество переменных. По аналогии вводятся обобщенная скорость , импульс

и сила

Движение системы определяется путем минимизации действия. Действие — это интеграл

Лагранжева механика была развита при помощи методов вариационного исчисления и на самом деле верна не только для физических механических систем, а для более абстрактного класса математических систем.

Лагранжиан для механических систем определяется как разность между кинетической и потенциальной энергиями, . Для нахождения уравнения движения необходимо решить уравнение Эйлера-Лагранжа,

Если обобщенных координат штук, то уравнение принимает вид системы дифференциальных уравнений не выше второго порядка.

Кинетическая энергия определяется как квадратичная форма от обобщенных скоростей,

где — количество степеней свободы (число обобщенных координат). В более простом виде, когда форма симметрична, .

С другой стороны потенциальная энергия не имеет какого-то конкретного вида, но именно она определяет основные свойства системы. Для классического маятника с одной обобщенной координатой , энергии определяются как

где — длина маятника. А вот для систем с большим числом степеней свободы описать потенциальную энергию уже в разы сложнее. В общем случае для неконсервативных сил с внешнем полем . Поэтому, одной из главных задач в лагранжевой механике является определение потенциальной энергии.

Пример построения эконофизической модели

Рассмотрим производственное предприятие. Пусть оно выпускает некоторый товар, количество которого в единицу времени обозначим за . Единицу измерения количества товара обозначим за . В качестве единицы времени можно взять день (D). Скорость выпуска товара обозначим через .

Что же такое энергия в нашем примере? Воспользуемся аналогией из физики. Без внешнего воздействия система скатывается в состояние с минимальной энергией и не может перейти в состояние с более высоким уровнем энергии.

Для этого хорошим аналогом в экономике являются деньги. Без инвестиций предприятие остается в своем диапазоне энергии и не может производить товара больше, так как для этого нужны деньги для развития станков, повышения мотивации сотрудников, модернизации технологии, улучшения логистики и т. д. Валюта в нашем примере роли не играет, поэтому обозначим единицу измерения за абстрактную величину .

Если система двигается, то она либо потребляет энергию извне, либо высвобождает. Если у вас есть конфета и вы хотите ее обменять на машину, то вполне логично, что вам придется добавить денег. А если вы меняете конфету на жвачку, то эти состояния можно считать одинаковыми с точки зрения энергии и тогда обмен происходит без потерь.

Итак, пусть предприятие производит товаров. Кинетическая энергия такой системы равна

Мы упрощаем от общего вида, так как можно считать производство отдельных товаров независимым.

Инерциальная масса товара определяется так, чтобы величина энергии измерялась в , то есть . Масса содержит в себе всю информацию об ограничениях производства. По аналогии с физикой, если масса тела большая, то сдвинуть с места его сложнее.

Потенциальная энергия в физике отвечает за накопленную энергию, которая может реализоваться через движение, то есть совершить работу. Если тело двигается, то оно двигается так, что потенциальная энергия убывает наискорейшим образом. Соответственно потенциальная энергия предприятия — это возможность увеличить прибыль. Например, если фирма имеет мощности, которые не задействованы в производстве, то использовав их, она может увеличить прибыль. Наличие таких ресурсов и есть потенциал предприятия.

Здесь для упрощения, мощности, которыми обладает фирма, уже являются ее частью. Если бы мы рассматривали инвестиции извне, то тогда пришлось бы обратиться к внешнему воздействию на предприятие. Это добавит новое слагаемое в потенциальную энергию и усложнит пример.

Согласно неоклассической экономической теории фирма действует так, чтобы максимизировать свою полезность. Давайте построим потенциальную энергию на этом принципе.

Зададим функцию ожидаемого дохода. Например, она может иметь форму

где — функция затрат на производство товаров , — цена -го товара .

Как мы выяснили, потенциальная энергия — это то, что фирма может реализовать для увеличения прибыли. Поэтому, если — некоторые оптимальные скорости производства, которые максимизируют ожидаемый доход, то потенциальная энергия на некотором горизонте планирования равна

Таким образом, лагранжиан системы есть

Возьмем производные,

И тогда уравнение Эйлера-Лагранжа для нашей системы есть

Мы получили систему из уравнений, решая которую получим функции производства -го товара. Решение будет зависеть от цен в конкретный момент времени и от затрат на производство, то есть функции . Конкретные примеры с разными функциями доходности и затрат можно найти в статье [5].

Таким образом, определяя систему и потенциальную энергию из экономических предположений, можно вывести уравнение динамики. Данный пример не включает внешнего поля, поэтому уравнение получается простым, и задавая конкретную функцию затрат , можно быстро найти решение системы.

Наша статья

В нашей работе мы исследовали динамику миграционного баланса. Главной идеей было использовать подход из эконофизики, чтобы закрыть минусы существующих физических моделей миграции.

В качестве обобщенной координаты у нас был миграционный баланс , то есть разница между приехавшими и уехавшими из населенного пункта . И таких обобщенных координат штук, по числу населенных пунктов. Как уже говорилось ранее, главной проблемой для систем с большим числом степеней свободы является вывод потенциальной энергии. Здесь мы использовали классические предположения о миграции, например то, что потоки зависят от возраста людей, расстояния между населенными пунктами (особенно до центральных) и схожести населенных пунктов между собой.

Стоит отметить, что в число также включается некоторый мнимый населенный пункт. Мы вводим этот пункт для того, чтобы исходная система без внешнего воздействия была замкнутой. За счет этого не нарушается общее построение и аналогия с физическими моделями. Сам мнимый пункт представляет некоторую агрегацию уехавших или приехавших людей извне. То есть если мы рассматриваем конкретные города, то известно, что люди мигрируют не только между этими городами, а есть те, кто приезжает из других регионов или даже стран.

Помимо этого, на миграцию влияет большое количество факторов. Все эти факторы включить в модель было бы невозможно. Из-за излишнего усложнения затрудняется интерпретация и возможность нахождения решения системы уравнений. Поэтому мы включили в потенциальную энергию внешнее поле. Это поле задает внешнее воздействие на систему, например, регуляторные меры со стороны правительства, программы инвестиций в населенные пункты, открытие новых магазинов, строительство новых домов и многие другие. Получилось нечто такое

где — коэффициенты и — внешнее воздействие, которые искались через физически-обоснованные нейронные сети (PINNs). Функция отвечает за схожесть населенных пунктов, за расстояния и функция
за возрастные изменения в регионе.

Для калибровки параметров уравнения и самое главное нахождения функции неоднородности в уравнении динамики (внешнего поля) мы использовали физически-обоснованные нейронные сети. Подробнее о них можно почитать здесь [4] и здесь. Мы использовали несколько точек данных (исторические данные о миграции в России и США) для обучения PINNs. Такие PINNs называются обратными.

После нахождения всех параметров и неоднородности, мы принялись за интерпретацию внешнего воздействия. Для этого мы собрали макроэкономические и социальные показатели регионов и обучили регрессионную модель для прогнозирования . В качестве регрессии использовали XGBoost. Результаты показали, что используя выбранные показатели можно с высокой точностью описать функцию неоднородности (внешнее воздействие).

Таким образом, наша работа дает новое направление в описании миграционных моделей через лагранжеву механику. Помимо этого, мы продемонстрировали как работать со сложными системами и определять в них внешнее воздействие через физически-обоснованные нейронные сети. Также мы показали как интерпретировать внешнее поле и таким образом влиять на конкретные переменные динамической модели для достижения целей сценариев.

Скоро у нас выйдет еще одна статья по эконофизике и PINNs, а пока можно почитать эту [1].

Список источников:

[1] Zakharov, Kirill, Anton Kovantsev, and Alexander Boukhanovsky. 2025. “Coupling of Lagrangian Mechanics and Physics-Informed Neural Networks for the Identification of Migration Dynamics” Smart Cities 8, no. 2: 42. https://doi.org/10.3390/smartcities8020042

[2] Mantegna, Rosario N., and H. Eugene Stanley. “Scaling behaviour in the dynamics of an economic index.” Nature 376, no. 6535 (1995): 46-49.

[3] Kac, Mark. “On some connections between probability theory and differential and integral equations.” In Proceedings of the second Berkeley symposium on mathematical statistics and probability, vol. 2, pp. 189-216. University of California Press, 1951.

[4] Raissi, Maziar, Paris Perdikaris, and George E. Karniadakis. “Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations.” Journal of Computational physics 378 (2019): 686-707.

[5] Estola, Matti, and Alia Asha Dannenberg. “Newtonian and Lagrangian mechanics of a production system.” Hyperion International Journal of Econophysics New Economy 9, no. 2 (2016): 7-26.